ベクトル解析④ yuru×2解説
こんにちは、お寿司デラックスです!!
やっと大学生の範囲まで進んできました!
ここら辺から面白いんですよねヽ(*゜∀゜*)ノ
さっそく見ていきましょう!!
③スカラー場 ベクトル場
この項目出てくる内容は以下の通りです
重要な項目のポイントだけ説明しましょう!
「場」…座標を指定すると値が決まるような量を場と呼ぶ
座標を指定すると温度というスカラー量が分かります
スカラー場の表示
→ 等温線や等高線をイメージしてください
ある任意の値に等しい位置を探してプロットするだけですよ
「ベクトル量」
…例えば天気図で用いられる風速とか、
管内の流体の流速とか ですね
位置を決めるとその位置でのベクトル量が決まるような場です
ベクトル場の表示
→各地点で矢印書けばOK!!
余談ですが
ベクトル場A(x,y,z)に対して
A(x,y,z) = ー∇f(x,y,z)
を満たす スカラー場f を
Aのスカラー・ポテンシャル という
見方を変えると
スカラーポテンシャルの勾配が ベクトルになっているんですね
自分はこれを知ったとき衝撃でした 笑
物理的に考えると、
電界Eが電位Vの勾配で表されるってことですよね
数学ってすごいです…
また、ベクトル場A(x,y,z)に対して
A(x,y,z) = rot W
Aのベクトル・ポテンシャル というので
紹介だけしておきます♪
∇やrot の意味は後々説明します!
極座標と球座標は説明しません (すみません)
「ベクトル値関数」…ある変数に依存し値がベクトル量になるような関数
例えば
空中に斜めにボールを投げ上げると
ボールの 位置ベクトルr や 速度ベクトルu
は時間tに依存して刻々と変化します
つまり今回の例えだと
これらのベクトルはベクトル値関数となります
ベクトル値関数の微分則
→基本は普通の関数の微分と同じですが
ベクトル値関数には内積と外積があるのでここだけ注意してください
( a(t)・b(t) )'=a'(t)・b(t) + a(t)・b'(t) 内積の微分公式
( a(t) × b(t) )'=a'(t) × b(t) + a(t) × b'(t) 外積の微分公式
曲線
接線ベクトルや法線ベクトルは曲線や曲面に対して様々な情報を与えます
例えば これらのベクトルを計することで曲線や曲面がそれぞれの地点で
どの方向を向いているのかが分かります
詳しく知るためには
・曲線のパラメータ表示
・接線の方向ベクトル
・曲面の法線ベクトル(←二つの接線ベクトルの外積となります)
を理解してみてください
ベクトルの積分
ベクトルの積分を理解するためには、
・線積分
・面積分
・体積分
を理解する必要があります
今回はここまでにします
次回は 発散と回転 についての記事を書こうと思います
ベクトル解析の中で最も重要なところだと個人的に思ってます
早く発散と回転の記事について書きたかったので楽しみです 笑笑